Korrapärane hulknurk. Regulaarse hulknurga külgede arv

Triangle, square, hexagon - need arvud on teada peaaegu kõigile. Kuid mitte kõik ei tea, mis on tavaline hulknurk. Kuid need on kõik ühesugused geomeetrilised joonised. Korrapärane hulknurk on üks, millel on võrdsed nurgad ja küljed. Selliseid arvandmeid on palju, kuid neil kõigil on samad omadused ja neil on samad valemid.

Regulaarsete hulknurkide omadused

Iga tavaline hulknurk, olgu see ruut või kaheksanurk, saab sisestada ringi. Seda põhiomandit kasutatakse kuju ehitamisel sageli. Lisaks saab ringi kirjutada ka hulknurgast. Sellisel juhul võrdub kontaktpunktide arv külgede arvuga. On oluline, et korrapärase hulknurga sisestatud ringil oleks ühine keskus. Need geomeetrilised jooned kuuluvad ühele teoreemile. Regulaarse n-goni mis tahes pool on ühendatud ringjoonega R ümbritseva raadiusega, mistõttu saab seda arvutada järgmise valemi abil: a = 2R ∙ sin180 °. Ringi raadiusega saate leida mitte ainult külgi, vaid ka hulknurga perimeetrit.

Kuidas leida korrapärase hulknurga külgede arv

Iga regulaarne n-gon koosneb paljudest võrdsetest segmentidest, mis ühinevad moodustavad suletud rea. Sellisel juhul on kõik moodustatud näitaja nurgad sama väärtusega. Polükoonid on jagatud lihtsaks ja keerukaks. Esimene rühm sisaldab kolmnurka ja ruutu. Kompleksset polügooni on rohkem külgi. Nende hulka kuuluvad ka silmaarstid. Komplekssete korrapäraste hulknurkade jaoks leitakse küljed, sisestades need ringi. Anname tõendi. Joonista tavaline hulknurk suvalise arvu külgedega n. Kirjelda selle ümber ringi. Määrake raadius R. Kujutage ette, et mõni n-gon on antud. Kui selle nurkade punktid paiknevad ringil ja on üksteisega võrdsed, siis saab külgi leida järgmise valemi abil: a = 2R ∙ sinα: 2.

Kinnise parempoolse kolmnurga külgede arvu leidmine

Võrdne kolmnurk on tavaline hulknurk. Valemid sellele rakenduvad sama ruudu ja n-goni suhtes. Kolmnurka peetakse õigeks, kui selle pikkus on sama. Nurk on võrdne 60 При. Me ehitame kolmnurka kindla pikkuse külgedega a. Teades selle keskmist ja kõrgust, võib leida selle külgede olulisust. Selleks kasutame meetodit, mis võimaldab leida läbi valemi a = x: cosα, kus x on mediaan või kõrgus. Kuna kõik kolmnurga küljed on võrdsed, saadakse a = b = c. Siis hoitakse alljärgnevat väidet: a = c = c = x: cosα. Samamoodi võib leida võrdsete külgede kolmnurga külgede väärtuse, kuid x on antud kõrgus. Sellisel juhul peaks see olema prognoositud rangelt joonise baasil. Seega, kõrguse x tundmine, leiame võrratu kolmnurga külje a, mille valem on a = b = x: cosa. Pärast a väärtuse leidmist võime arvutada aluse c pikkuse. Me rakendame Pythagorase teoreemi. Otsime aluse pooli väärtust c: 2 = √ (x: cosα) ^ 2 - (x ^ 2) = √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α = x ∙ tgα. Seejärel c = 2xtgα. Sellisel lihtsal viisil saab leida iga kirjutatud hulknurga külgede arvu.

Rõngast kantud ruudu külgede arvutamine

Nagu iga teine kinnitatud korrapärane hulknurk, on ruudus võrdsed küljed ja nurgad. Sama valem kehtib ka kolmnurga suhtes. Arvuta välja ruudu küljed läbi diagonaali väärtuse. Vaatame seda meetodit üksikasjalikumalt. On teada, et diagonaal jagab nurka poole võrra. Esialgu oli selle väärtus 90 kraadi. Seega jaguneb pärast jagamist kaks ristkülikukujulist kolmnurka. Nurgad baasil on 45 kraadi võrra. Seega on ruudu mõlemad küljed võrdsed: a = c = c = q = e ∙ cosα = e√2: 2, kus e on ruudu diagonaal või jagunemise järel moodustatud parempoolse kolmnurga alus. See ei ole ainus viis ruudu külgede leidmiseks. Kirjutame selle numbri ringi. Teades selle ringi raadiust R, leiame ruudu külgi. Me arvutame seda järgmiselt: a4 = R√2. Regulaarsete hulknurkade raadiused arvutatakse valemiga R = a: 2tg (360 ^o: 2n), kus a on külgpikkus.

Kuidas arvutada n-goni perimeetrit

N-goni perimeeter on kõigi selle külgede summa. Arvuta see ei ole raske. Selleks peate teadma kõigi osapoolte tähendust. Teatud tüüpi polügoonide jaoks on olemas erilised valemid. Need võimaldavad teil perimeetrit leida palju kiiremini. On teada, et igal tavalisel hulknurgal on võrdsed küljed. Seetõttu on selle perimeetri arvutamiseks piisav vähemalt üks neist teada. Valem sõltub arvude külgedest. Üldiselt näeb see välja nii: P = a, kus a on külg väärtus ja n on nurkade arv. Näiteks tavalise kaheksanurga perimeetri leidmiseks küljega 3 cm korrutada see 8 võrra, see tähendab, et P = 3 · 8 = 24 cm. Pöörake kuusnurka, mille külg on 5 cm, arvutamiseks: P = 5 · 6 = 30 cm. Igast polügoonist.

Rööpküliku, ruudu ja rombma perimeetri leidmine

Sõltuvalt sellest, kui paljudel külgedel on tavaline hulknurk, arvutage selle perimeetrit. See lihtsustab ülesannet oluliselt. Lõppude lõpuks, erinevalt teistest näitajatest, ei pea te sel juhul kõiki oma külgi otsima. Samal põhimõttel leiame nelinurga perimeetri, st ruudu ja rombi. Hoolimata sellest, et need on erinevad joonised, on nende valem P = 4a, kus a on külg. Anna meile näide. Kui teemandi või ruudu külg on 6 cm, siis leiame perimeetri järgmiselt: P = 4 · 6 = 24 cm. Rööpkülikus on ainult vastupidised küljed võrdsed. Seetõttu leitakse selle perimeetrit kasutades teistsugust meetodit. Seega peame teadma joonise pikkuse ja laiuse. Siis rakendame valemit P = (a + b) ∙ 2. Rööpkülik, milles kõik küljed ja nurgad on võrdsed, nimetatakse rombiks.

Ekvivalentne kolmnurga ja parempoolse kolmnurga perimeetri leidmine

Regulaarse võrdkülgse kolmnurga perimeetrit võib leida valemiga P = 3a, kus a on külgpikkus. Kui see ei ole teada, võib seda leida mediaani kaudu. Ristkülikukujulisel kolmnurgal on ainult kaks külge võrdsed väärtused. Põhineb Pythagorase teoreemi kaudu. Kui kõigi kolme külje väärtused on teada, arvutage ümbermõõt. Seda võib leida, kasutades valemit P = a + b + c, kus a ja b on võrdsed küljed ja c on alus. Tuletame meelde, et võrratu kolmnurga a = b = a, siis a + b = 2a, siis P = 2a + c. Näiteks võrdse kolmnurga külg on 4 cm, leiame selle aluse ja perimeetri. Arvutame hüpotenuuse väärtust vastavalt Pythagorose teoreemile c = √a ² + ² = √16 + 16 = √32 = 5,65 cm. Nüüd arvutage perimeeter P = 2 × 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Kuidas leida korrapärase hulknurga nurgad

Igapäevaselt juhtub tavaline hulknurk, näiteks tavaline ruut, kolmnurk, kaheksanurk. Tundub, et midagi pole lihtsam kui selle kuju ise ehitamine ise. Kuid see on just esimesel pilgul. Iga n-goni ehitamiseks on vaja teada oma nurkade väärtust. Aga kuidas neid leida? Isegi iidsed teadlased püüdlesid korrapäraste hulknurgade rajamist. Nad arvasid, et need sobiksid ringi. Ja siis tähistasid need vajalikke punkte, ühendades need sirgjoontega. Lihtsate arvude puhul oli ehitusprobleem lahendatud. Valemid ja teoreemid saadi. Näiteks Eukliid oma kuulus töös "Algus" tegeles probleemide lahendamisega 3-, 4-, 5-, 6- ja 15-gonni jaoks. Ta leidis viise, kuidas ehitada ja leida nurki. Mõelge, kuidas seda 15-tunniseks teha. Kõigepealt tuleb arvutada sisemise nurga summa. On vaja kasutada valemit S = 180⁰ (n-2). Niisiis antakse meile 15-gon, seega number n on 15. Me asendame valemiga teadaolevad andmed ja saame S = 180⁰ (15-2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Leidsime 15-gooni kõigi sisemiste nurkade summa. Nüüd peate iga nende väärtuse saama. Üldised nurgad 15. Kas arvutada 2340⁰: 15 = 156⁰. Seega on iga sisemine nurk 156 °, nüüd saab joonlaua ja kompassi abil võite ehitada õige 15-gon. Aga kuidas on keerulisemad n-gons? Paljude sajandite jooksul on teadlased selle probleemi lahendamiseks püüdnud. Seda leidis vaid 18. sajandil Carl Friedrich Gauss. Ta suutis ehitada 65537-gon. Sellest ajast alates on probleem täielikult ametlikult käsitletud.

N-goni nurkade arvutamine radiaanides

Loomulikult on hulknurkade nurkade leidmine mitmel viisil. Enamasti arvutatakse need kraadides. Kuid võite neid väljendada radiaanides. Kuidas seda teha? On vaja jätkata järgmiselt. Esmalt selgitame välja korrapärase hulknurga külgede arvu, seejärel lahutame selle 2-st. Seega saame väärtuse n-2. Korrutage erinevus n-ga ("pi" = 3.14). Nüüd on jäänud ainult jagatud toode n-goni nurkade arvuks. Mõõtke neid arvutusi sama viieteistkümnekohalise kolmnurga näites. Seega number n on 15. Valem S = n (n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 · 13: 15 = 2,72. See muidugi ei ole ainus võimalus radiaani nurga arvutamiseks. Saate lihtsalt jagada nurga suuruse kraadides numbriga 57.3. Lõppude lõpuks on nii palju kraadi võrdsed ühe radooniga.

Nurkade arv gradsides

Lisaks kraadidele ja radiaanidele saate proovida leida korrapärase hulknurga nurgad rahe. Seda tehakse järgmiselt. Alates nurkade koguarvust, lahutamiseks 2, jagage saadud erinevus tavalise hulknurga külgede arvuga. Tulemust korrutatakse 200-ga. Muide, sellist nurkade mõõtmise ühikut, nagu rahe, praktiliselt ei kasutata.

N-goni välisnurga arvutamine

Regulaarse hulknurga puhul on lisaks sisemisele ka alamnurga võimalik arvutada. Selle tähendus leitakse samamoodi nagu ülejäänud jooniste puhul. Nii et korrapärase hulknurgaga välimise nurga leidmiseks peate teadma sisemise hulknurga tähendust. Lisaks teame, et nende kahe nurga summa on alati 180 kraadi. Seetõttu teeme arvutused järgmiselt: 180 °, miinus sisemise nurga väärtus. Leiame erinevuse. See on võrdne sellega asetseva nurga väärtusega. Näiteks ruudu sisemine nurk on 90 kraadi, siis on välimine nurk 180 ° -90 ° = 90 °. Nagu näeme, pole seda raske leida. Välisnurk võib võtta väärtusest alates + 180 ° kuni -180 .