Maclaurin ja lagunemise mõned funktsioonid

Õppimine arenenud matemaatika peaks olema teadlik, et summa astmejadade intervalli lähenemise paljud meist, on pidev ja piiramatu arv kordi diferentseeritud funktsiooni. Tekib küsimus: kas on võimalik väita, et antud suvalise funktsiooni f (x) - on summa astmejadade? See tähendab, millistel tingimustel f-tatud f (x) saab esindajad astmejadade? Tähtsust selles küsimuses on, et see on võimalik asendada umbes £ Teoloogiline f (x) on summa esimese paari tingimustega astmejadade, et on polünoomi. Selline asendamine funktsioon on üsna lihtne väljendus - polünoomi - on mugav ja teatud probleemide lahendamiseks matemaatilise analüüsi, nimelt lahendamisel integraalid arvutamisel diferentsiaal , jne ...

On tõestatud, et mõnede f-ii f (x), kusjuures derivaate (n + 1) -nda Selleks saab arvutada, sealhulgas viimased lähedus (α - R; x ₀ + R) punktini x = α õiglase valem on järgmine:

See valem on saanud nime kuulsa teadlase Brooke Taylor. Mitmed mis pärineb eelmine, nimetatakse Maclaurin seeria:

Reegel, mis võimaldab toota lõdvendamine Maclaurin seeria:

1. Määrata derivaadid esimese, teise, kolmanda, ... järjekorras.
2. Arvutada, milline on tuletisinstrumente x = 0.
3. Salvestage Maclaurin seeria Selle funktsiooni ja seejärel määrata intervalli lähenemise.
4. Määratakse intervalli (-R; R), kui jääk osa valemiga Maclaurin

_Rn (x) -> 0 n -> lõpmatus. Kui see on olemas, siis funktsiooni f (x) peab olema võrdne summa Maclaurin seeria.

Mõtle nüüd Maclaurin seeria üksikute funktsioone.

1. Seega on esimene tuleb f (x) = e ^x. Muidugi, et nende omadused seda f-la on tuletatud erinevatest tellimusi ja f ^{(k) (x)} = e ^x, kus k on võrdne kõigi füüsiline numbrid. Asendaja x = 0. Me saame f ^{(k) (0)} = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Eeltoodust lähtudes on mitmed e ^x See on järgmine:

2. Maclaurin ridadena funktsioon f (x) = sin x. Kohe täpsustada, et f-tatud kõigi teadmata derivaadid on lisaks f ^'(x) = cos x = sin (x + n / 2), ^{f' '(x)} = -sin x = sin (x + 2 * n / ²⁾ ..., f ^{(k) (x)} = sin (x + n * k / 2), kus k on võrdne tahes positiivne täisarv. See tähendab, et lihtsaid arvutusi, võime järeldada, et seeria f (x) = sin x on selline:

3. Nüüd Vaatleme IJU f-f (x) = cos x. On teada kõigi derivaadid suvalises järjekorras ja ^{| f (k) (x)} | = | Cos (x + k * n / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Jällegi, see on teinud mõned arvutused, leiame, et seeria f (x) = cos x näeb välja selline:

Niisiis, meil on loetletud kõige olulisemad omadused, mida saab laiendada oma Maclaurin seeria, kuid need täiendavad Taylor seeria teatud funktsioonidele. Nüüd me loetleda neid samuti. Samuti tuleb märkida, et Taylor seeria ja Maclaurin seeria on oluline osa töökoja rida otsuseid kõrgem matemaatika. Niisiis, Taylor seeria.

1. Esimene on rida f-ii f (x) = ln (1 + x). Nagu eelnevates näidetes, selle me f (x) = ln (1 + x) saab kokku numbri, kasutades üldist kujul Maclaurin seerias. kuid see funktsioon Maclaurin saab palju lihtsam. Integreerides geomeetrilises jadas, saame mitu jaoks f (x) = ln (1 + x) proovi:

2. Ja teine, mis on lõplik see artikkel, saab seeria f (x) = arctg x. Suhe x kuuluvate [-1; 1] kehtib lagunemine:

See on kõik. Selle artikli ma küsitletud enim kasutatud Taylor seeria ja Maclaurin seeria kõrgem matemaatika, eriti majanduslike ja tehniliste kolledžid.