Süsteem lineaarsete algebralise võrrandid. Homogeenne süsteem lineaarne algebraline võrrandid

Koolis igaüks meist õppinud võrrandi ja kindlasti süsteemi võrrandid. Aga paljud inimesed ei tea, et on olemas mitmeid viise, kuidas neid lahendada. Täna näeme täpselt kõiki meetodeid lahendamiseks süsteemi lineaarne algebraline võrrandeid, mis koosnevad rohkem kui kaks võrrandit.

lugu

Täna me teame, et kunst lahendada võrrandid ja nende süsteemide tekkis Vana Babylon ja Egiptuses. Kuid võrdsuse harjumuspärases vormis ilmus meile pärast esinemist võrdusmärk "=", mis võeti kasutusele 1556 Inglise matemaatik rekord. Muide, selle sümboli valiti põhjusel: see tähendab kahe paralleelse võrdseks osaks. Tõepoolest, parim näide võrdsuse ei tulla.

Asutaja kaasaegse kiri ja sümboleid teadmata määral Prantsuse matemaatik Fransua Viet. Kuid selle nimetusest on oluliselt erinev täna. Näiteks ruudu tundmatu number ta määratud täht Q (lat "quadratus".) Ja kuup - tähega C (lat "CUBUS".). Need sümbolid nüüd tundub ebamugav, kuid siis oli kõige intuitiivne viis kirjutada süsteemi lineaarne algebraline võrrandid.

Kuid kahjuks valitsevate meetodeid lahendus oli, et matemaatikud on lugeda ainult positiivset juured. Võibolla on see tingitud asjaolust, et negatiivsed väärtused ei ole praktiline rakendus. Ühel või teisel viisil, kuid esimesena loetakse negatiivseks juured hakkas pärast Itaalia matemaatika Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano ja Raphael Bombelli 16. sajandil. Kaasaegne välimus, peamine meetod lahendada Ruutvõrrand (läbi discriminant) asutati alles 17. sajandil läbi Descartes'i töödega ja Newton.

Keset 18. sajandi Šveitsi matemaatik Gabriel Cramer leidnud uue viisi kuidas lahendus Lineaarvõrrandisüsteem lihtsamaks. See meetod oli hiljem tema nime, ja sel päeval me seda kasutame. Aga meetod Kramer rääkida veidi hiljem, kuid nüüd me käsitleme lineaarvõrrandeid ja nende lahendusi süsteemist eraldi.

lineaarvõrrandeid

Lineaarvõrrandid - lihtsaim võrrandisse muutuja (s). Nad kuuluvad algebraline. Lineaarvõrrandid kirjutatud üldvorm järgmiselt: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... ja _n * x _n = b. Käesoleva vormi peame valmistamisel süsteemide ja maatriksite kohta.

Süsteem lineaarsete algebralise võrrandid

Määratlus on see mõiste: võrrandite mis on ühine tundmatud ja üldine lahendus. Tavaliselt koolis kõik lahendatud süsteemi kahe või isegi kolme võrrandid. Aga on olemas ka süsteemid, millel on neli või rohkem komponente. Vaatame kõigepealt, kuidas kirjutada neid nii, et hiljem see oli mugav lahendada. Esiteks, süsteemi lineaarne algebraline võrrandid vaata parem kui kõik muutujad on kirjutatud x vastava indeks: 1,2,3 ja nii edasi. Teiseks tuleks viia kõik võrrandid kanoonilise vormi: ₁ * x ₁ + _{2 *} x ₂ + ... ja _n * x _n = b.

Pärast kõiki neid samme, saame hakata teile öelda, kuidas leida lahendus Lineaarvõrrandisüsteem. Väga palju, et tulevad mugav maatriks.

maatriks

Matrix - tabel, mis koosneb ridade ja veergude ja selle elemendid on nende ristumiskohas. See võib olla kas konkreetne väärtus või muutuja. Enamikel juhtudel panna elemente, mis on paigutatud all alumised indeksid (näiteks ₁₁ või ₂₃ süvend). Esimene indeks näitab rea number, ja teine - kolonni. Üle maatriksid nagu eespool ja muu matemaatilise element saab sooritada erinevaid toiminguid. Seega saate:

1) lahutamine ja lisage ühesuurused tabeli.

2) Korruta maatriksist numbri või vektorit.

3) võtta üle: muuta maatriksi ridade veergude ja veerud - kooskõlas.

4) Korruta maatriksi, kui ridade arvu võrdub üks neist eri veergude arvu.

Arutada üksikasjalikult kõiki neid tehnikaid, kuna need on kasulikud meile tulevikus. Lahutamine ja lisaks maatriksite on väga lihtne. Kuna me võtame sama suurusega maatriksi iga element ühe tabel on seotud iga teine element. Seega lisame (lahutada) kaks neist elementidest (see on oluline, et nad seisid samal põhjusel oma maatriksid). Korrutamisel arvuga maatriksi või vektori siis lihtsalt korrutab iga elemendi maatriksisse, et number (või vektor). Ülevõtmine - väga huvitav protsess. Väga huvitav mõnikord teda näha reaalses elus, näiteks siis, kui muuta orientatsiooni tablett või telefoni teel. Ikoonid töölaual on maatriks, ja asendi muutus, see on üle võetud ja muutub laiema, kuid väheneb kõrguse.

Uurigem pigem protsess nagu maatriksi korrutamine. Kuigi ta rääkis meile, ja ei ole kasulik, kuid tuleb meeles pidada on see siiski kasulik. Korruta kaks maatriksid saab ainult tingimusel, et veergude arvu ühes tabelis on võrdne ridade arvu vahel. Nüüd võib olla üks maatriksi rea elemente ja muid elemente vastava kolonni. Korrutab need üksteisele ja siis sum (st näiteks toode elementide ₁₁ ja ₁₂ ning ₁₂ b ja ₂₂ b on võrdne: a * b _{11 12} + ₁₂ * b ja _22). Seega ühes tabelis eset ja sarnast meetodit nagu see on täidetud veelgi.

Nüüd saame hakata kaaluma, kuidas lahendada Lineaarvõrrandisüsteem.

Gauss

See teema hakkas toimuma koolis. Me teame väga hästi mõiste "süsteemi kahe lineaarvõrrandeid" ja teavad, kuidas neid lahendada. Aga mis siis, kui arvu võrrandid on suurem kui kaks? See aitab meil Gauss meetod.

Muidugi, see meetod on mugav kasutada, kui teete maatriks süsteemi. Aga sa ei saa teisendada ja otsustada ise.

Niisiis, kuidas lahendada seda süsteemi lineaarvõrrandeid Gauss? Muide, kuigi see meetod ja tema nime, kuid avastas selle ammustest aegadest. Gauss on toiming, mille võrrandid, mis pikemas perspektiivis tervikus et iseseisevkuju. See tähendab, et sa pead üles-alla (kui õigesti koht) esimesest kuni viimase võrrandi kahanenud ühe tundmatu. Teisisõnu, me peame tagama, et meil, ütleme, kolm võrrandit: esimene - kolm tundmatut, teises - kaks kolmandas - üks. Seejärel viimase võrrandi, leiame esimese teadmata, asendada selle raha teise või esimese võrrandi ja veelgi leida ülejäänud kahe muutuja.

Crameri reegli

Arendamiseks seda tehnikat on oluline osata oskusi liitmise, lahutamise maatriksite, samuti vajadust, et oleks võimalik leida määravate. Seega, kui olete ebamugav seda teha kõik või ei tea, kuidas on vaja õppida ja olla õpetatud.

Mis on sisuliselt seda meetodit ja kuidas seda teha, et saada süsteemi Lineaarvõrrandisüsteem Cramer? See on väga lihtne. Me peame ehitama maatriksi numbrid (peaaegu alati) koefitsientide süsteemi lineaarne algebraline võrrandid. Selleks lihtsalt võtta mitmeid tundmatu ja me korraldada tabeli et nad registreeritakse süsteemis. Kui enne number on märk "-", siis me kirjutame negatiivne koefitsient. Niisiis, tegime esimese maatriksi koefitsientide tundmatud, välja arvatud arvu pärast võrdusmärki (muidugi, et võrrandit tuleb vähendada kanooniline vorm kui õigus on vaid number ja vasakul - kõik tundmatud kordajad). Siis on vaja teha mõned maatriksid - üks iga muutuja. Selleks esimeses maatriksi asendatakse üks veerg iga veeru numbrid koefitsiendid pärast võrdusmärki. Seega saame mõne matriitsid ja seejärel leida oma määravate.

Pärast leidsime täpsustus, see on väike. Meil on esialgu maatriksi, ja seal on mitmeid tuletatud põhiaineid, mis vastavad erinevaid muutujaid. Et saada süsteemi lahendus, jagame määraja saadud tabelit esmane määraja tabelis. Saadud number on väärtus ühe muutuja. Samamoodi me kõik tundmatud.

muid meetodeid

On mitmeid meetodeid, et saada lahus Lineaarvõrrandisüsteem. Näiteks niinimetatud Gaussi-Jordani meetod, mida kasutatakse lahenduste leidmiseks süsteemi Ruutvõrrand ja käsitleb ka maatriksite kasutamine. Samuti on Jacobi meetod lahendamiseks süsteemi lineaarne algebraline võrrandid. Ta kohaneb kiiresti kõik arvutid ja kasutatakse arvutamisel.

keeruliste juhtumite

Keerukus tekib tavaliselt siis, kui arvu võrrandid on väiksem kui muutujate arv. Siis saame kindlasti öelda, et ega süsteem ei ole (st ei ole juured), või kui palju tema otsused kipub lõpmatuseni. Kui meil on teisel juhul - on vaja kirjutada üldise süsteemi lahend Lineaarvõrrandisüsteem. See hõlmab vähemalt üks muutuja.

järeldus

Siin jõuame lõpuks. Kokkuvõtteks: me peame aru, mida süsteemi maatriksi, õppinud leida üldine lahendus süsteemi Lineaarvõrrandisüsteem. Lisaks pidasime muid võimalusi. Me saime teada, kuidas lahendada Lineaarvõrrandisüsteem: Gaussi kõrvaldamine ja Crameri reegli. Rääkisime rasketel juhtudel ja muude lahenduste leidmise viise.

Tegelikult on see küsimus on palju ulatuslikum, ja kui sa tahad, et paremini mõista seda, soovitame teil lugeda rohkem erialakirjandust.