Diferentsiaalarvutust funktsioonide ühe ja mitme muutuja

Diferentsiaalarvutust on filiaali matemaatilise analüüsi, mis uurib derivaat, diferentsiaalid ja nende kasutamine uuringus funktsioone.

Lugu

Diferentsiaalarvutust tekkinud iseseisva distsipliini teisel poolel 17. sajandil, tänu töö Newton ja Leibniz, kes sõnastas põhilised sätted arvutamisel diferentsiaalid märganud seost integratsiooni ja diferentseerumist. Kuna distsipliini ta arendas koos arvutamise integraalid, olles seega aluseks matemaatilise analüüsi. Välimus nende kivide avas uue moodsa perioodi matemaatiline maailmas ja põhjustas uute erialade teaduse. Samuti laiendatakse võimalust kohaldada matemaatika loodus- ja tehnikateaduste.

põhimõisteid

Diferentsiaalarvutust põhineb põhimõistete matemaatika. Need on: tõeline number, järjepidevus ja piiri funktsiooni. Mõne aja pärast, mida nad on võtnud kaasaegse ilme, tänu lahutamatu ja erinevat kivi.

Loomise protsessi

Kihistu vahest kivi vormis taotlus ja seejärel teadusliku meetodi toimusid enne tärkamist filosoofilise teooria, mis on loodud Nikolai Kuzansky. Tema töö peetakse evolutsiooniline areng alates vana teadus kohtuotsuse. Vaatamata sellele, et filosoof ei olnud ise matemaatik, tema panust arengu matemaatika on vaieldamatu. Cusa, üks esimesi välja võtta aritmeetika kõige täpsemaks teaduse, matemaatika paneb ajal kahtluse alla.

Vana matemaatikud universaalne kriteerium oli üksuse, samas kui filosoof ettepanek uue meetme lõpmatuseni tagasi täpne arv. Seoses sellega äraspidine täpsus matemaatika. Teaduslikud teadmised, et tema arvates on jagatud ratsionaalne ja intelligentne. Teine on täpsem, vastavalt teadlane, sest endise annab vaid ligikaudse tulemusi.

idee

Põhiidee ja mõiste erinevus calculus seotud funktsiooni väike naabruses teatud punkti. Selleks on vaja luua matemaatilise aparatuuri töötamiseks uuringud kelle käitumine väike naabruses punktide paigaldatud lähedal käitumist lineaarne funktsioon või polünoomi. Põhinedes sellel määratlus tuletis ja diferentsiaal.

Tekkimist mõiste tuletis põhjustas suure hulga probleeme loodusteaduste ja matemaatika, mis tõi kaasa määramiseks piirväärtused sama tüüpi.

Üks peamisi ülesandeid, mis on toodud näitena, alustades kõige vanematest klassiruume, on määrata kiirust liikumise punkti sirgjooneliselt ja ehitus puutuja liin sellele kõver. Eristatav seotud, sest nii on võimalik ühtlustada funktsiooni väike naabruses koht lineaarne funktsioon.

Võrreldes mõiste tuletis funktsiooni tegelik muutuja määratlus erinevused lihtsalt läbib funktsiooni üldist laadi, eriti pildi eukleidiline ruum teise.

tuletis

Olgu punkt liigub suunas y-telje jaoks aega võtame x, mida mõõdetakse algusest hetk. Kirjeldage selline liikumine on võimalik funktsioonile y = f (x), mis on seotud iga ajahetke x-koordinaadi asendatav küsimuses. See funktsioon kõne mehaanika võtta õiguse algatusel. Peamine tunnus liikumise, eriti ebaühtlane, on hetkeline kiirus. Kui punkt on liikunud mööda y-telje vastavalt seadusele mehaanika, juhuslik ajahetkel see omandab koordineerida x f (x). In ajapunkti x + SH, kus õh esindab juurdekasvu aja, siis kordinaty f (x + SH). Selliselt moodustunud valemiga Δy = f (x + SH) - f (x), mis on kutsutud juurdekasvu funktsiooni. On baas tee nihutatakse ajal x kuni x + SH.

Seoses esinemise ajahetkel derivaat manustatakse. Tuletis ühtegi funktsiooni fikseeritud punkti nimetatakse piiri (eeldades, et see on olemas). See võib viidata teatud märke:

f '(x), y', y, df / dx, dy / dx, Df (x).

Protsessi arvutamise tuletis kõne diferentseerumist.

Diferentsiaalarvutust ülesanded mitme muutuja

Seda meetodit rakendatakse arvutamisel funktsiooni uuringus mitme muutujaga. Kui on kahe muutuja x ja y on osatuletis x punktidest A nimetatakse tuletise seda ülesannet x fikseeritud y.

Võib tähistada järgmisi sümboleid:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x ja ∂f (x, y) / ∂x.

vajalikud oskused

Et edukalt õppida ja suutma lahendada diffury vaja oskusi integratsiooni ja diferentseerumist. Et oleks lihtsam aru saada diferentsiaal, tuleb mõista teemat tuletis ja määramata integraal. Samuti ei ole valus õppida otsima tuletis kaudne funktsioon. See on tingitud asjaolust, et õppimise protsessis sageli kasutada integraalid ja diferentseerumist.

Liiki diferentsiaal

Praktiliselt kõik kontrolli töö seostatakse esimest järku diferentsiaal, seal on 3 liiki võrrandid: homogeenne, eraldatavate muutujatega, lineaarse mittehomogeense.

On ka haruldased liigid võrrandid kokku diferentsiaalid, Bernoulli võrrand ja teised.

alused lahendusi

Kõigepealt tuleb meeles pidada on algebraline võrrand kooli muidugi. Nad sisaldavad muutujaid ja numbrid. Et lahendada tavaliste võrrand tuleb leida palju numbreid, et rahuldada kindlaksmääratud korras. Tavaliselt on need võrrandid on üks juur ja valideerimiseks ainult asendada see väärtus paika teadmata.

Diferentsiaalvõrrandit on sarnane sellele. Üldiselt võrrandi esimeses järjekorras sisaldab:

• Sõltumatu muutuja.
• Derivaat esimese funktsiooni.
• Funktsioon või sõltuva muutuja.

Mõnel juhul ei pruugi olla ühe tundmatuga, x või y, kuid see ei ole nii oluline, kuna see on vajalik omada esimest tuletist, millel puuduvad kõrgemat järku derivaatide lahuse ja diferentsiaalarvutust tõele.

Lahendada diferentsiaalvõrrandit - see tähendab leida komplekti kõik funktsioonid, mis sobivad konkretiseerib. Selline komplekti funktsioone nimetatakse sageli üldise lahenduse kontrolli.

lahutamatu calculus

Lahutamatu calculus on üks osa matemaatilise analüüsi, mis uurib mõiste lahutamatu, omadused ja meetodid selle arvutamise.

Sageli arvutamisel lahutamatu tekib siis, kui pindala arvutamisel kõverjooneline kuju. Selle abil piirangu ala, mille poole kindlaksmääratud ala kantud polügooni kujuga järkjärgulist suurendamist käe ja andmed pool võib teha vähem kui kõik eelnevalt nimetatud suvalise väikese väärtusega.

Peamine mõte on nende pindala geomeetriliste kuju pindala arvutamisel ristkülik, siis on tõendeid, et selle pindala on võrdne toote pikkusest laiusega. Kui tegemist on geomeetria, siis kõik konstruktsioonid on valmistatud kasutades joonlauda ja kompassi ning seejärel pikkuse suhe laius on ratsionaalne väärtus. Kui pindala arvutamisel täisnurkse kolmnurga saab määrata, et kui paned järgmise kolmnurga ristkülik on moodustatud. Kui rööpküliku pindala arvutatakse sarnaselt kuid veidi keerulisem meetod, ristküliku piires ja kolmnurk. Valdkonnas hulknurk peetakse kolmnurgad lisada see.

Otsustades meelevalda meelevaldne, see meetod ei sobi kõvera. Kui me murda üksikuteks väljakud, jääb täitmata kohti. Sel juhul proovida kasutada kaht kuube ristkülikutena üles- ja allapoole, kui tulemus nende hulka funktsiooni graafik ja ei sisalda. Tähtis on siin viis murda nende ristkülikute. Samuti, kui me võtame pausi rohkem vähendatud ala ülemise ja alumise peaks koonduvad teatud väärtust.

Tuleb tagasi meetodit eraldades ristkülikuteks. On kaks populaarsemaid meetodeid.

Riemann vormistati määratlus lahutamatu loodud Leibniz ja Newton, kui ala graafi. Sel juhul me pidada joonisel koosneb teatud vertikaalse ristkülikud saadakse, jagades intervalli. Kui purustamine vähenemine on olemas piir, mille vähendatud ala sellist käivet, selle piiri nimetatakse Riemann lahutamatu funktsiooni ettenähtud intervalliga.

Teine meetod on ehitada Lebesgue lahutamatu, mis seisneb selles, et koht eraldamine määratud ala osa integrand ja koostamise siis lahutamatu väärtuste summa saadakse nende osad, vahedega jagas oma väärtuste vahemikku, ja siis kokku vastavate meetmetega pöördvõrdeline pilte nende integraalid.

kaasaegne abivahendid

Üks peamisi eeliseid uuring diferentseeritud ja integreeritud calculus Fikhtengol'ts kirjutas - "Euroopa diferentseeritud ja integreeritud calculus." Tema õpik on oluline vahend uuringus matemaatilise analüüsi, mis talus palju väljaandeid ja tõlkeid teistesse keeltesse. Loodud õpilastele ja pikka aega kasutatud erinevaid haridusasutusi üks peamisi eeliseid uuringu. See annab teoreetilise teavet ja praktilisi oskusi. Esmakordselt avaldatud 1948.

Algoritmi teadusuuringute funktsiooni

Et uurida meetodeid diferentsiaalarvutust funktsiooni, peate järgima juba antud algoritm:

1. Leia funktsiooni domeeniks.
2. Leia juured antud võrrand.
3. Arvuta äärmusi. Selleks me arvutada funktsiooni tuletis ja koht, kus see on võrdne nulliga.
4. Me asendada saadud väärtus Eq.

Sortide diferentsiaal

Kontroll esimest järku (vastasel korral diferentsiaalarvutust ühe muutuja) ja nende liiki:

• Mugav eralduvate muutujatega võrrand: f (y) dy = g (x) dx.
• Lihtsaim võrrandi või diferentsiaalarvutust funktsioonina üks muutuja, mille valem on: y '= f (x).
• Lineaarne esimest järku ebaühtlase kontroll: y '+ P (x) y = Q (x).
• Bernoulli diferentsiaalvõrrandit: y '+ P (x) y = Q (x) y a.
• Võrrandisse kõigi erinevused koos: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Diferentsiaalvõrrandid teist järku ja nende liiki:

• Homogeensed lineaarse teist järku diferentsiaalvõrrandi konstantse ^{koefitsientidega: y n + py '+ qy} = 0 p, q kuulub R.
• Inhomogeneous lineaarse teist järku diferentsiaalvõrrandi konstantse koefitsientide ^{-väärtus: y n + py '+ qy} = f (x).
• Homogeensed lineaarse ^{diferentsiaalvõrrandi: y n + p (x)} y '+ q (x) y = 0 ja mittehomogeensete teist järku ^{võrrandi: y n + p (x)} y' + q (x) y = f (x).

Diferentsiaal kõrgemat järku ja nende tüübid:

• Diferentsiaalvõrrandit, võimaldades vähendada ^{järjekorras: F (x, y (k} ), y (k + ^{1), .., y (n)} = 0.
• Lineaarvõrrandiga kõrgemat järku ^{_{homogeenne: y (n) + f (}} n- ₁₎ y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0 ja ^{_{mittehomogeensete: y (n) + f (}} n _-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Etappidel probleemi lahendamisele diferentsiaalvõrrandit

Tänu kaugjuhtimise on lahendatud mitte ainult matemaatika või füüsilisi probleeme, vaid ka mitmesuguseid probleeme bioloogia, majandus, sotsioloogia ja teised. Vaatamata mitmesuguseid teemasid, peaks järgima ühe loogilise järjestuse nende probleemide lahendamiseks:

1. Koostamine kontrolli. Üks raskemaid etappe, mis nõuab maksimaalset täpsust, sest iga viga viib täiesti vale tulemusi. See on vajalik, et võtta arvesse kõiki tegureid, mis mõjutavad protsessi ja määrata esialgsed tingimused. Samuti peaks põhinema faktide ja loogilisi järeldusi.
2. Sest lahendada võrrandid. See protsess on lihtsam esimene punkt, sest see nõuab ainult range rakendamise matemaatilisi arvutusi.
3. Analüüs ja tulemuste hindamise. Tuletatud lahendus tuleb hinnata paigaldamise praktilist ja teoreetilist väärtust tulemus.

Näitena kasutamist differentsiaalvõrrandite meditsiinis

Kasutades kaugjuhtimispulti meditsiini alal leidub ehitamiseks epidemioloogilise matemaatilise mudeli järgi. Me ei tohiks unustada, et need võrrandid on leitud ka bioloogia ja keemia, mis on lähedal meditsiin, sest see mängib olulist rolli uuringu erinevate bioloogiliste populatsioonide ja keemiliste protsesside inimkeha.

Selles näites epideemilise leviku Haigust saab ravida isoleeritud kogukonnas. Elanikud jagunevad kolme liiki:

• Nakatunud arv x (t), mis koosnes üksikisikud, nakkuslik kandjaid, millest igaüks on nakkav (peiteaeg on lühike).
• Teist tüüpi sisaldab tundlikel inimestel y (t), võib nakatunud kontakt nakatunud.
• Kolmas tüüp on tulekindlate üksikisikute z (t), mis on immuunsüsteemi või väsimuse tõttu kaotatud.

Isikute arv pidevalt, hoides sündi, looduslik surmade ja rände ei peeta. Keskmes on kaks hüpoteesi.

Protsenti haiguse mingil ajamomendil on võrdne x (t) y (t) (põhineb eeldusel teooriat, et nende juhtumite arvu arvule lõikumised ja patsiendi vahel reageerivate kohal, mis esimeses lähenduses on võrdeline x (t) y (t)), in seetõttu juhtude arv kasvab ning mitmeid vastuvõtlike väheneb kiirusega, mis arvutatakse valemiga ax (t) y (t) (a> 0).

Arv ravile mittereageerinute loomad, kes surid või omandatud immuunsuse, suurenenud sellise kiirusega, mis on võrdeline juhtumite arv, bx (t) (b> 0).

Selle tulemusena saate seadistada süsteemi võrrandid kõik kolm näitajat põhjal oma järeldused.

Näide kasutamise ökonoomika

Diferentsiaalarvutust kasutatakse sageli majanduslikku analüüsi. Peamine ülesanne majanduslikku analüüsi peetakse uuringu väärtuste majanduse, mis on salvestatud kujul funktsiooni. Seda kasutatakse probleemide lahendamisel, nagu muutused tulumaksu tõusu vahetult pärast osavõtumaksu, muutused tulude kui muutuvad toote väärtusest, millises koguses võib asendada pensionile töötajatele uusi seadmeid. Nende probleemide lahendamiseks, on ta kohustatud ehitama kommunikatsioon funktsiooni sissetulevate muutujad, mis pärast uurinud erinevat kivi.

on sageli vaja leida kõige optimaalse jõudluse majandusvallas: maksimaalne tootlikkus, mis on kõrgeim sissetulek, vähemalt kulude ja nii edasi. Iga selline osa on funktsioon ühe või mitme argumendid. Näiteks tootmise võib pidada funktsioon tööjõu ja kapitali. Seoses sellega leitakse sobiv väärtus on võimalik vähendada leida maksimaalset või minimaalset funktsiooni ühe või mitme muutuja.

Sellised probleemid luua klassi extremal probleeme majandusvaldkonnas, mille jaoks teil on vaja erinevat kivi. Kui majanduslik näitaja on vaja vähendada või suurendada sõltuvalt muid parameetreid, juurdekasvu suhe maksimaalne punkt funktsiooni argumendid kipuvad null, kui juurdekasv argument kipub null. Vastasel juhul, kui selline suhtumine kipub teatud positiivne või negatiivne väärtus, määratud punkti ei sobi, sest suureneb või väheneb argument saab muuta sõltuv väärtus soovitud suunas. In diferentsiaalarvutust terminoloogiat, tähendaks see, et nõutavad tingimused maksimaalse funktsiooniks on nullväärtus selle derivaat.

Majandus ei ole ebatavaline probleem leida extremum Mitme muutuja funktsiooni, sest majanduslikud näitajad koosnevad paljudest teguritest. Sellised probleemid on hästi aru teooria ülesanded mitme muutuja, arvutamise meetodi erinevus. Sellised probleemid ei hõlma ainult maksimeeritud ja minimeeritud funktsioon, kuid ka piirangud. Need küsimused on seotud matemaatiliste programmeerimine ja nad on lahendatud abiga spetsiaalselt välja töötatud meetodite aluseks on samuti selle teadusharu.

Hulgas meetodeid erinevat kivi kasutatakse majanduses oluline osa on ülim test. Majandusvallas, viitab termin komplekt uurimismeetodeid muutuja ja tulemusi, kui muudate helitugevust loomise, tarbimise, mis põhineb analüüsi nende piirväärtuste. Piirates näidustustest derivaat või Osatuletiste mitme muutujaid.

Diferentsiaalarvutust mitme muutuja - oluline teema matemaatilise analüüsi. Üksikasjaliku uuringu, saate kasutada erinevaid õppevahendeid kõrgkoolides. Üks kuulsamaid loodud Fikhtengol'ts - "Euroopa diferentseeritud ja integreeritud calculus." Kui palju nimi lahendus diferentsiaal märkimisväärse tähtsusega on oskused töötada integraalid. Kui on olemas erinevus calculus funktsioonide ühe muutuja otsuse muutub lihtsamaks. Kuigi tuleb märkida, et see järgib sama põhireeglid. Praktikas uurida funktsiooni erinevat kivi, järgige juba algoritmi, mis on toodud keskkooli ja ainult veidi keerulisem uute muutujate.