Moodustamine, Keskharidus ja koolid
Lineaarne ja homogeenset diferentsiaalvõrrandit esimeses järjekorras. näiteid lahendusi
Ma arvan, et me peaks algama ajaloo kuulsusrikast matemaatiline vahend nagu diferentsiaal. Nagu kõik diferentseeritud ja integreeritud calculus, nende võrrandite leiutati Newton 17. sajandi lõpul. Ta uskus, et see oli tema avastus nii oluline, et isegi krüpteeritud sõnum, mis täna saab tõlkida järgmiselt: "Kõik loodusseadused kirjeldatud diferentsiaal." See võib tunduda liialdus, kuid see on tõsi. Iga seadus füüsika, keemia, bioloogia, võib kirjeldada nende võrrandid.
Tohutu panuse ja loomise teooria diferentsiaal on matemaatika Euler ja Lagrange. Juba 18. sajandil nad avastatud ja arendatud, mida praegu õpib vanem ülikoolis.
Uus verstapost uuring diferentsiaal hakkas tänu Anri Puankare. Ta lõi "kvalitatiivne teooria diferentsiaal", mis koos teooria ülesanded keeruline muutuja oluliselt kaasa aidanud sihtasutus topoloogiast - Kosmoseteaduste ja selle omadused.
Mis on diferentsiaal?
Paljud inimesed kardavad fraasi "diferentsiaalvõrrandit". Kuid see artikkel me üksikasjalikult sätestatud sisuliselt seda väga kasulik matemaatiline vahend, mis on tegelikult ei ole nii keeruline kui tundub pealkirjas. Et hakata rääkima esimest järku diferentsiaalvõrrand, siis tuleb kõigepealt tutvuda põhimõisteid, mis on otseselt seotud käesoleva definitsiooni. Ja hakkame koos erinevus.
erinevus
Paljud inimesed teavad seda mõistet, sest keskkoolis. Kuid siiski pikemalt käsitleda üksikasjalikult. Kujutage funktsiooni graafik. Me ei saa seda suurendada sellisel määral, et iga tema segment muutub sirge. See võtan kaks punkti, mis on lõpmatult lähestikku. Erinevus nende koordinaadid (x või y) on üliväike. Ja seda nimetatakse erinevus ja märkide tähistamiseks dy (erinevus y) ja dx (diferentsiaali x). On oluline mõista, et erinevus ei ole ülim väärtus, ja see on tähenduse ja põhiülesanne.
Ja nüüd siis tuleb arvesse võtta järgmisi tegureid, mida me peame selgitama diferentsiaalvõrrandi mõiste. See - derivaat.
tuletis
Kõik meist peab olema kuulnud koolis ja seda mõistet. Öeldakse, et tuletis - on kasvukiiruse või kahanemist funktsiooni. Kuid see mõiste muutub segane. Püüdkem selgitada derivaat tingimuste erinevused. Lähme tagasi üliväike intervalli funktsiooni kahte aspekti, mis asuvad vähemalt kaugusele üksteisest. Aga isegi sellest kaugusest funktsioon on aeg muuta mõningaid väärtus. Ja kirjeldada selle muudatuse ja tulla derivaat, mis muidu kirjutatakse suhtena diferentsiaalid: f (x) = df / dx.
Nüüd on vaja kaaluda põhiomadused tuletis. On ainult kolm:
- Derivaat vastavalt summa või vahe võib olla esindatud summana või vahe derivaadid: (a + b) '= a' + b 'ja (ab)' = a'-b '.
- Teine omadus on seotud paljunemise. Tuletatud teoseid - on summa teostes ühe funktsiooni teise derivaat: (a * b) = a '* b + a * b ".
- Tuletis vahe võib kirjutada järgmisest võrrandist: (a / b) '= (a' * ba * b) / b 2.
Kõik need omadused tulevad mugav leida lahendusi diferentsiaal esimese järjekorras.
Samuti on osatuletised. Oletame, et meil funktsioonina z, mis sõltub muutujate x ja y. Arvutada osatuletis seda funktsiooni, näiteks x, peame muutuja y konstantseks ja kerge eristada.
lahutamatu
Teine oluline mõiste - lahutamatu. Tegelikult on vastupidine derivaat. Integraalid on mitut liiki, kuid lihtsaim lahendusi diferentsiaal, peame kõige triviaalne määramata integraalid.
Niisiis, milline on lahutamatu? Oletame meil on mõned suhted f x. Võtame sellest integraalne saada funktsiooni F (x) (see on sageli viidatud kui primitiivne), mis on tuletis esialgse funktsiooni. Seega F (x) = f (x). See tähendab ka seda, et integraal tuletis on võrdne algse funktsiooni.
Lahendamisel diferentsiaal on väga oluline mõista tähendus ja funktsioon lahutamatu, kuna väga sageli on võtta neid leida lahendusi.
Võrrandid on erinevad sõltuvalt nende olemusest. Järgmises osas vaatleme tüüpi esimeses järjekorras diferentsiaal, ja siis teada, kuidas neid lahendada.
Klassid diferentsiaal
"Diffury" jagatud suurusjärgus derivaadid kaasatud neid. Seega on olemas esimene, teine, kolmas või enama järjekorras. Nad võivad ka jagada mitmesse klassi: tavalised ja osaline.
Selles artiklis me kaaluda tavaline diferentsiaal esimese järjekorras. Näited ja lahendused arutame järgmistes osades. Leiame vaid TAC, sest see on kõige tüüpilisemad võrrandid. Tavalisest jagatud alamliik: eraldatavate muutujatega, homogeenne ja heterogeenne. Järgmine õpid, kuidas need erinevad üksteisest, ja õppida, kuidas neid lahendada.
Lisaks nende võrrandeid saab kombineerida, nii et pärast saame diferentsiaalvõrrandite süsteem esimese järjekorras. Sellised süsteemid on meil ka vaadata ja õppida, kuidas lahendada.
Miks me kaalume ainult esimeses järjekorras? Sest see on vajalik alustada lihtne ja kirjeldada kõiki seotud diferentsiaal, ühes artiklis on võimatu.
Võrrandeid eralduvate muutujatega
See on ehk kõige lihtsam esimeses järjekorras diferentsiaal. Need on näited, mida saab kirjutada kujul: y '= f (x) * f (y). Et lahendada see võrrand peame esindatust valemiga tuletise suhtena diferentsiaale: y '= dy / dx. Sellega saame võrrandi: dy / dx = f (x) * f (y). Nüüd saame pöörduda meetod lahendada standard näited: eraldi muutujaid osad, st kiiresti edasi kõik muutuja y on osa, kus on dy, ja ka muutuja x ... Me saada võrrandile: dy / f (y) = f (x) dx, mis saavutatakse võtmise integraalid kaheks osaks. Ära unusta konstant, mis sa tahad panna pärast integratsiooni.
Lahendus mis tahes "diffura" - on funktsioon x y (meie puhul), või kui on numbriline seisukorras, vastus on mitmeid. Uurigem konkreetne näide kogu käigus otsuse:
y '= 2y * sin (x)
Transfer muutujate eri suundades:
dy / y = 2 * sin (x) dx
Nüüd võta integraalid. Kõik nad võib leida spetsiaalse tabeli integraalid. Ja me saame:
ln (y) = -2 * cos (x) + C
Vajadusel saame väljendada "y" funktsioonina "X". Nüüd saame öelda, et meie diferentsiaalvõrrandi on lahendatud, kui ei ole täpsustatud seisukorras. Seda on võimalik täpsustada tingimusel, näiteks y (n / 2) = e. Siis me lihtsalt asendada nende muutujate otsuses ja leida väärtus konstantne. Meie näites on 1.
Homogeenne esimest järku diferentsiaal
Nüüd edasi keerulisemate osade. Homogeenne esimest järku diferentsiaal saab kirjutada üldiselt kujul: y '= z (x, y). Tuleb märkida, et õigus kahe muutuja funktsiooni on ühtlane ja seda ei saa jagada kaheks olenevalt: z x ja z y. Kontrollimaks, kas võrrand on homogeenne või mitte, on väga lihtne: teeme asenduse x = k * x ja y = k * y. Nüüd lõika kõik k. Kui need tähed on langenud, siis võrrandi homogeenne ja ohutult sõita oma lahendus. Tulevikku vaadates ütleme: põhimõte lahendus nende näidete on ka väga lihtne.
Peame tegema asendus: y = t (x) * x, kus t - funktsioon, mis sõltub ka x. Siis saame väljendada tuletis: y '= t' (x) * x + t. Asendades see kõik meie algne võrrand ning lihtsustama seda, meil on näiteks lahususe muutujate t kui x. Lahenduse ning saada sõltuvuse t (x). Kui me saime ta lihtsalt asendada meie eelmise asenduse y = t (x) * x. Siis saame sõltuvuse y x.
Et oleks selgem, me aru näide: x * y '= yx * e y / x.
Kui kontrollitakse asendamine kõikide langenud. Niisiis, võrrandit on tõesti homogeenne. Nüüd teha teise asenduse rääkisime: y = t (x) * x ja y '= t' (x) * x + t (x). Pärast lihtsustamist järgmisest võrrandist: t '(x) * x = -e t. Me otsustada saada proovi eraldatud muutujate ja saame: e -t = ln (C * x). Me lihtsalt vaja asendada t y / x (sest kui y = t * x, siis t = y / x), ja saame vastata: e-y / x = ln ( x * C).
Linear diferentsiaalvõrrandi esimest järku
On aeg kaaluda teise lai teema. Me vaatame heterogeense esimest järku diferentsiaal. Kuidas need erinevad kahe eelmise? Olgem ausad. Linear esimest järku diferentsiaal üldkuju võrrandi saab kirjutada nii: y '+ g (x) * y = z (x). Tuleb täpsustada, et z (x) ja g (x) võib olla konstantne väärtusi.
Siin on näide: y '- y * x = x 2.
On kaks võimalust, et lahendada ja me tellida Uurigem mõlemad. Esimene - meetod variatsiooni suvalise konstandid.
Võrrandit lahendada sel viisil, on vaja võrdsustada esimese paremal null, ja lahendada saadud võrrandi, mis pärast üle osa muutub:
y '= y * x;
dy / dx = y * x;
dy / y = xdx;
ln | y | = x 2/2 + C;
y = e x2 / 2 * C y = C1 * e x2 / 2.
Nüüd on vaja asendada pidev C 1 funktsiooni v (x), mis leiame.
y = v * e x2 / 2.
Joonistage asendamise derivaati:
y '= v' * e x2 / 2 -x * v * e x2 / 2.
Ja asendades need väljendite esialgse võrrandi:
v '* e x2 / 2 - x * v * e x2 / 2 + x * v * e x2 / 2 = x 2.
Näete, et vasakul pool kaks mõistet on vähendatud. Kui mõned näiteks seda ei juhtunud, siis olete teinud midagi valesti. Jätkame:
v '* e x2 / 2 = x 2.
Nüüd lahendada tavalisi võrrand, kus soovite eraldada muutujad:
dv / dx = x 2 / e x2 / 2;
dv = x 2 * e - x2 / 2 dx.
Eemaldamiseks lahutamatu peame rakendama integratsiooni osad siin. Kuid see ei ole teema see artikkel. Kui olete huvitatud, saate teada oma teostada selliseid meetmeid. See ei ole raske, ja piisavalt oskusi ja hooldus ei ole aeganõudev.
Viidates teist meetodit lahendus Inhomogeneous võrrandid: Bernoulli meetodit. Mis lähenemine on kiirem ja lihtsam - see on sinust.
Niisiis, kui lahendada see meetod, peame tegema asenduse: y = k * n. Siin k ja n - mõningaid funktsioone sõltuvalt x. Siis tuletis näeb: y '= k' * n + k * n '. Asendaja kahte asendust võrrandist:
k '* n + k * n ' + x * k * n = x 2.
Grupp kuni:
k '* n + k * ( n' + x * n) = x 2.
Nüüd on vaja võrdsustada nulliga, mis on sulgudes. Nüüd, kui sa ühendada kaks Saadud võrrandid, saame süsteemi esimest järku diferentsiaal, mis tuleb lahendada:
n '+ x * n = 0;
k '* n = x 2.
Esimene võrdsuse otsustada, kuidas tavaline võrrand. Selleks on vaja, et eraldada muutujad:
dn / dx = x * v;
dn / n = xdx.
Me võtame lahutamatu ja saame: ln (n) = x 2/2. Siis, kui me väljendada n:
n = e x2 / 2.
Nüüd asendada saadud võrrandi arvesse teise võrrandi:
k '* e x2 / 2 = x 2.
Ja muundamine, saame sama võrrand nagu esimene meetod:
dk = x 2 / e x2 / 2.
Samuti ei aruta täiendavaid meetmeid. On öeldud, et esimesel esimest järku diferentsiaal lahendus põhjustab märkimisväärseid raskusi. Kuid sügavamat kastmist teema on hakanud aina paremaks.
Millisest diferentsiaal?
Väga aktiivne diferentsiaal kasutatakse füüsika, sest peaaegu kõik põhilised seadused on kirjutatud erinevus kujul ja need valemid, mida me näeme - lahendus nendele võrrandid. Keemias, neid kasutatakse samal põhjusel: põhilisi seadusi on saadud nende kaudu. Bioloogia, diferentsiaal modelleerimiseks kasutatakse käitumist süsteemides nagu kiskjad - saagiks. Nad võivad kasutada ka luua mudelid reprodutseerimise, näiteks kolooniad mikroorganismid.
Nagu diferentsiaal aitab elus?
Vastus sellele küsimusele on lihtne: mitte midagi. Kui te ei ole teadlane või insener, on ebatõenäoline, et nad on kasulikud. Kuid mitte haiget teada, mida diferentsiaalvõrrandi ja see on lahendatud üldise arengu. Ja siis küsimus poeg või tütar, "mida diferentsiaalvõrrand?" ei pane teid tupikusse. Noh, kui sa oled teadlane või insener, siis sa tead, kui oluline on see teema igal teadust. Aga mis kõige tähtsam, et nüüd küsimusele "kuidas lahendada diferentsiaalvõrrandi esimeses järjekorras?" siis on alati võimalik anda vastust. Nõus, see on alati tore, kui sa mõistad, et see, mida inimesed on isegi kardavad, et teada saada.
Peamised probleemid uuringu
Peamine probleem arusaamist selle teema on halb harjumus integratsiooni ja diferentseerumise funktsioone. Kui te ei ebamugav ENDALE derivaadid ja integraalid, see on ilmselt rohkem väärt õppida, õppida erinevaid meetodeid integratsiooni ja diferentseerumine ja alles siis jätkake uuringu materjali, mis on kirjeldatud artiklis.
Mõned inimesed on üllatunud, et õppida, et dx saab üle, kui varem (koolis) väitis, et osa dy / dx on jagamatu. Siis tuleb lugeda kirjandust tuletis ja mõista, et see on suhtumine lõpmatult väikeste koguste, mida saab manipuleerida lahendada võrrandid.
Paljud inimesed ei ole kohe aru, et lahendus diferentsiaal esimest järku - see on sageli funktsiooni või neberuschiysya lahutamatu ja see soovmõtlemine annab neile palju vaeva.
Mida saab õppida paremini mõista?
See on kõige parem alustada veelgi sukelduda maailma erinevus calculus spetsialiseeritud õpikuid, näiteks matemaatiline analüüs õpilaste mitte-matemaatilise toidud. Seejärel saate liikuda rohkem erialakirjandust.
On öeldud, et lisaks erinevus on ikka lahutamatu võrrandid, nii et sa alati midagi mille poole püüelda ja mida õppida.
järeldus
Loodame, et pärast lugemist see artikkel siis on idee, mida diferentsiaal ja kuidas neid lahendada õigesti.
Igal juhul matemaatika kuidagi kasulik meile elu. See arendab loogikat ja tähelepanu, ilma milleta iga mees, kui ilma käed.
Similar articles
Trending Now