Diferentsiaalid - mis see on? Kuidas leida erinevus funktsiooni?

Koos derivaadid nende funktsioonid erinevused - see mõned põhimõisted vahest kivi, põhiosas matemaatilise analüüsi. Nagu lahutamatult seotud, nii neist mitu sajandit kasutatakse laialdaselt lahendamisel peaaegu kõik probleemid, mis kerkisid käigus teadus- ja tehnikaalane tegevus.

Tekkimist mõiste erinevus

Esmakordselt tegi selgeks, et selline erinevus, üks asutajatest (koos Isaakom Nyutonom) diferentsiaalarvutust kuulsa Saksa matemaatik Gotfrid Vilgelm Leybnits. Enne seda matemaatikud 17. sajandil. kasutatakse väga ebaselge ja ebamäärane idee mõned üliväike "jagamatu" mis tahes tuntud funktsiooni, mis moodustab väga väikese konstantset väärtust, kuid mitte null, millest allpool väärtustab funktsiooni ei saa lihtsalt. Seega oli ainult üks samm kehtestamine mõisted üliväike kaupa funktsiooni argumendid ja nende kaupa funktsioone, mis võib väljendada derivaadid viimane. Ja see samm tehti peaaegu üheaegselt eespool kaks suurt teadlased.

Põhineb vajadust kiireloomuliste praktiline mehaanika probleemid, et seista teaduse kiiresti arenev tööstus ja tehnoloogia, Newton ja Leibniz loodud ühise võimalusi leida funktsioone muutumise kiirus (eriti seoses mehaanilise kiiruse keha tuntud trajektoori), mis tõi kaasa seesuguste kontseptsioone, kui derivaat funktsiooni ja diferentsiaali ja leidsime ka algoritmi teistpidi probleemiks lahendusi iseenesest teada (muutuja) kiirustel nihutatakse leida tee, mis on viinud mõiste lahutamatuks Ala.

Teostes Leibniz ja Newtoni idee esimene selgus, et erinevused - on proportsionaalne juurdekasv põhilised argumendid AH sammudena Δu funktsioone, mida saab edukalt rakendada väärtuse arvutamiseks viimane. Teisisõnu, nad on avastanud, et juurdekasvu funktsioon võib olla mis tahes punktis (oma domeenil definitsiooni) väljendub tema tuletise nii Δu = y '(x) SH + αΔh kus α SH - ülejäänu, kasvatamise nullile, nagu SH → 0, palju kiiremini kui tegelik AH.

Vastavalt asutajad matemaatilise analüüsi, diferentsiaalid - see on täpselt esimese ametiaja kaupa tahes funktsioone. Isegi ilma selgelt määratletud piirmäära mõiste järjestused mõista intuitiivselt et erinevus väärtus derivaat kipub toimima siis õh → 0 - Δu / AH → y '(x).

Erinevalt Newton, kes oli peamiselt füüsik ja matemaatilise aparatuuri pidada abistava vahendina uuring füüsilisi probleeme, Leibniz enam tähelepanu pöörata sellele tööriistakomplekt, sealhulgas süsteemi visuaalne ja arusaadav sümbolid matemaatilisi väärtusi. Just tänu temale pakutud standard tähistuses erinevused funktsiooni dy = y '(x) dx, dx ja tuletis argumentfunktsioonis nende suhet y' (x) = dy / dx.

Kaasaegne mõiste

Mis on erinevus nii kaasaegse matemaatika? See on tihedalt seotud mõiste muutuja juurdekasvu. Kui tunnus y võtab esimese väärtuse y y = _1, siis y = _2, vahe y ₂ ─ y ₁ nimetatakse juurdekasvuväärtus y. Juurdekasv võib olla positiivne. negatiivne ja null. Sõna "juurdekasvu" tähistatakse Δ, Δu salvestust (loe "delta y ') tähistab väärtust juurdekasvu y. nii Δu = _y2 ─ y _1.

Kui väärtus Δu suvalise funktsiooni y = f (x) võib esindada Δu = a SH + α, kus A puudub sõltuvus SH, t. E. A = const aktiivsust antud x ja termin α kui AH → 0 kipub see on isegi kiirem kui tegelik SH, siis esimene ( "master") termin võrdeline õh, ning on mõeldud y = f (x) erinevus, mida tähistatakse dy või df (x) (loe "y de", "de eff alates X"). Seega erinevused - "Peamise" osas lineaarne komponentide kaupa AH funktsioone.

mehaaniline seletus

Olgu s = f (t) - kaugus sirgjooneliselt liikuva materjali punkt algasendist (t - sõiduaeg). Juurdekasv Δs - on viis punkti ajaintervalli jooksul At ning erinevus ds = f '(t) At - sel teel, misjärel toimub samal ajal At, kui see säilib kiirust f' (t), saavutas ajahetkel t . Kui üliväike At DS kujuteldava tee erineb tegelik Δs infinitesimally mille kõrgemat järku suhtes At. Kui kiirus ajal t ei ole võrdne nulliga, ligikaudne väärtus DS annab väikese eelvoolupunkti.

geomeetriline tõlgendus

Olgu liini L on graafik y = f (x). Siis Δ x = MQ, Δu = QM "(vt. Joonis allpool). Tangent MN murrab Δu lõigata kaheks Qn ja NM ". Esimese ja õh on võrdeline QN = MQ ∙ tg (nurk QMN) = Hf '(x), t. E QN on dy erinevus.

Teine osa erinevusest Δu NM'daet ─ dy, kui õh → 0 NM pikkus "väheneb veelgi kiiremini kui juurdekasvu argument, st et see on järjekorras väiksus kõrgem AH. Sel juhul, kui f '(x) ≠ 0 (mitteparalleelse puutuja OX) segmendid QM'i QN ekvivalendiga; teisisõnu NM 'väheneb kiiresti (suurusjärgus väiksusel kõrgem) kui kogu juurdekasvu Δu = QM ". See on ilmne joonisel (läheneb segment M'k M NM'sostavlyaet kõik väiksema protsendi QM "segment).

Niisiis, graafiliselt diferentseeritud meelevaldne funktsioon võrdne juurdekasvu ordinaat puutuja.

Tuletis ja diferentsiaal

Üheks teguriks esimeses Termin ekspressiooni juurdekasvu funktsioon võrdne väärtus selle derivaati f '(x). Seega järgmise võrrandiga - dy = f '(x) SH või df (x) = f' (x) SH.

On teada, et juurdekasvu sõltumatu argument on võrdne selle erinevus AH = dx. Seega saame kirjutada: f '(x) dx = dy.

Leidmine (mõnikord öeldakse olevat "otsus") erisusindeks läbi samade reeglite järgi nagu derivaadid. Nende loetelu on esitatud allpool.

Veelgi enam universaalse: juurdekasvu argument või selle erinevus

Siin on vaja teha mõned täpsustused. Esindatuse väärtus f '(x) erinevus õh võimalik kaalumisel x argumendiks. Aga funktsioon võib olla keeruline, kus x võib olla funktsiooni argument t. Siis esitus erinev ekspressioon f '(x) SH, reeglina on võimatu; välja arvatud juhul lineaarsete sõltuvuse x = at + b.

Mis puudutab valemiga f '(x) dx = dy, siis juhtumil sõltumatu argumendi x (siis dx = SH) puhul parameetrilised sõltuvuse x t, see on erinevus.

Näiteks väljend 2 x õh on y = x ² diferentsiaalse kui x on argument. Nüüd x = t ² ja eeldada t argument. Siis y = x ² = t ^4.

Sellele järgneb (t + At) ² = t ² + 2tΔt + At ^2. Seega SH = 2tΔt + At ^2. Seega: 2xΔh = 2t ² (2tΔt + At ^2).

See väljend ei ole proportsionaalne At ning seetõttu on nüüd 2xΔh ei diferentseeritud. Seda võib leida võrrandist y = x ² = t ^4. See võrdub dy = 4t ³ At.

Kui võtame ekspressiooni 2xdx on see erinevus y = x ² kõikidel argument t. Tõepoolest, kui x = t ² saada dx = 2tΔt.

Nii 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ At, t. E. Väljend erinevused registreeritakse kahte erinevaid muutujaid kattuda.

Asendamine kaupa erinevused

Kui f '(x) ≠ 0, siis Δu ja dy ekvivalent (kui AH → 0); kui f '(x) = 0 (tähenduse ja dy = 0), siis ei ole samaväärsed.

Näiteks kui y = x ^2, siis Δu = (x + SH) ² ─ x ² = 2xΔh + SH ² ja dy = 2xΔh. Kui x = 3, siis on meil Δu = 6Δh + SH ² ja dy = 6Δh mis on samaväärsed tõttu õh ² → 0, kui x = 0 väärtus Δu = SH ² ja dy = 0 ei ole samaväärsed.

See fakt, koos lihtsa struktuuriga erinevus (m. E. lineaarsus suhtes SH), kasutatakse sageli ligikaudseks arvutamiseks eeldusel, et Δu ≈ dy väikeste õh. Leia erinevus funktsioon on tavaliselt lihtsam kui arvutada täpse väärtuse juurdekasvu.

Näiteks oleme metallilise kuubi serva x = 10,00 cm. Kuumutamisel serva pikenenud kohta SH = 0,001 cm. Kuidas kasvava kuubi VK Meil on V = x ^2, nii et dV = 3x ² = AH 3 ∙ ∙ ^10. veebruar 0/01 = 3 (cm ^3). Suurenenud Av samaväärse erinevus dV, nii et Av = 3 ^cm3. Full arvutus annaks ³ Av = 10,01 ─ ^10. märts = 3,003001. Aga tulemus kõigi numbrit, välja arvatud esimese ebausaldusväärne; Seega, see on ikka vaja ümardada kuni 3 cm ^3.

Ilmselt selline lähenemine on kasulik ainult siis, kui see on võimalik hinnata väärtust, mis veaga.

Erinevus funktsioon: näited

Proovime leida erinevus funktsiooni y = x ^3, leides derivaat. Andkem argument juurdekasvu Δu ja määratleda.

Δu = (SH + x) ³ ─ x ³ = 3x ² + SH (AH 3xΔh ² + ^3).

Siin võib koefitsientide A = 3x ² ei sõltu õh, nii et esimene Termin on võrdeline õh, teise liikme 3xΔh õh ² + ³ kui õh → 0 väheneb kiiremini kui juurdekasvu argument. Järelikult liige 3x ² õh on erinevus y = x ^3:

dy = 3x ² SH = 3x ² dx või d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Milles d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Dy Nüüd leiavad funktsioonile y = 1 / x poolt derivaat. Siis d (1 / x) / dx = ─1 / ^x2. Seetõttu dy = ─ SH / ^x2.

Diferentsiaalid põhi algebraline funktsioonid on toodud allpool.

Ligikaudne arvutustel erinevus

Et hinnata funktsiooni f (x) ja selle tuletis f '(x) x = a on sageli raske, kuid sama teha läheduses x = a ei ole lihtne. Siis tulevad appi ligikaudne väljendus

f (a + SH) ≈ f '(a) SH + f (a).

See annab ligikaudse väärtuse funktsiooni vähehaaval kaudu erinevus Hf '(a) SH.

Seetõttu see valem annab ligikaudse funktsiooni avaldis lõpus baas osa pikkus SH summana selle väärtuse lähtepunkti osa (x = a) ja erinevus samas alguspunkti. Meetodi täpsus määramiseks väärtuste funktsioon allpool illustreerib joonis.

Kuid tuntud ja täpne avaldis funktsiooni väärtus x = a + SH teatavasti valemiga lõplikel juurdekasvuga (või alternatiivselt Lagrange'i valem)

f (a + SH) ≈ f '(ξ) SH + f (a),

kus punktis x = a + ξ on Vahemikus x = a x = a + SH, kuigi selle täpne asukoht on teadmata. Täpne valem võimaldab hinnata viga ligikaudne valem. Kui me paneme Lagrange'i valemi ξ = AH / 2, kuigi see ei ole enam täpne, kuid annab, reeglina palju parem lähenemisviis kui algne väljend poolest erinevus.

Hindamine valemid vea kohaldades erinevus

Mõõteriistad , põhimõtteliselt, ebatäpsed ja tuua mõõteandmed vastavad viga. Neid iseloomustab piirates absoluutse vea, või, lühidalt, piirmäära vea - positiivne, mis ületab selgelt vea absoluutväärtus (või äärmisel juhul võrdne it). Piirates suhteline viga nimetatakse jagatise saadakse jagades selle absoluutväärtus mõõdetud väärtusest.

Olgu täpse valemiga y = f (x) funktsiooni kasutatakse vychislyaeniya y, kuid x väärtuse on mõõtetulemus ning seetõttu toob y vea. Seejärel leida kõige piirates absoluutviga │Δu│funktsii y, kasutades valemit

│Δu│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δh│,

kus │Δh│yavlyaetsya marginaalne vea argument. │Δu│ kogust tuleb ümardatud ülespoole, nagu ebatäpne arvutus ise asendamine juurdekasvu kohta erinevus arvutus.