Geomeetrilises progressioonis. Näide otsuste

Mõtle järjest.

7 28 112 448 1792 ...

Üsna selgelt on näha, et väärtus tahes osa rohkem kui eelmise täpselt neli korda. Niisiis, selles seerias on progresseerumist.

geomeetrilise progressiooni nimetatakse lõpmatult numbrijada, peamine tunnus, mis seisneb selles, et järgnev number saadakse eespool korrutades tulemuse mõned kindlad number. Seda väljendab järgmine valem.

_{z 1 = a z · q} , kus z - arvu valitud element.

Seega z ∈ N.

Ajal, mil kooli õppekeelt geomeetrilises progressioonis - 9. klass. Näited aitab mõista kontseptsiooni:

0,25 0,125 0,0625 ...

18. veebruar 6 ...

Põhinedes sellel valemiga arenemine nimetajaks võib leida järgmiselt:

Kumbki qvõi b _z ei saa olla null. Samuti võib iga elementide arvude jada progresseerumise tohiks olla null.

Seega, et näha järgmist arvu Numbri mitmekordselt viimast q.

Määratleda selle progresseerumist, peate täpsustama esimese osa seda ja nimetaja. Pärast seda on võimalik leida mõni järgmistest liikmetest ja nende summa.

liigid

Sõltuvalt q ja _{1 on} käesolev progresseerumise jaguneb mitut liiki:

• Kui _{1 ja} q on suurem kui üks, siis järjestust - kasvab iga järgnev element of geomeetrilises progressioonis. Nende näited on toodud allpool.

Näide: ₁ = 3, q = 2 - suurem ühest, mõlemat parameetrit.

Siis arvujadad võib kirjutada:

3 6 12 24 48 ...

• Kui | q | väiksem kui üks, st see on samaväärne korrutamine jagamine, progresseerumise sarnaste tingimuste - väheneb geomeetrilises progressioonis. Nende näited on toodud allpool.

Näide: ₁ = 6, q = 1/3 - ₁ on suurem kui üks, q - vähem.

Siis jada numbreid saab kirjutada järgmiselt:

6 2 2/3 ... - mis tahes element rohkem elemente järgmiste see on 3 korda.

• Vahelduv. Kui q <0, märke numbrid järjestuse vahelduva pidevalt olenemata nõude _{1 ja} elementide arvu suurenemine või vähenemine.

Näide: ₁ = -3, q = -2 - on mõlemad vähem kui null.

Siis arvujadad võib kirjutada:

3, 6, -12, 24, ...

valem

Mugav kasutada, on palju Geomeetriline jada valemitega:

• Valemiga z-nda perspektiivis. See võimaldab arvutada elemendi teatud arvu arvestamata eelmise numbrid.

Näide: q = 3, a = ₁ 4. vaja välja arvutada neljanda elemendi progresseerumist.

Lahendus: a = ₄ 4 3 · ^4-1 · ³ = 4 3 = 4 · 27 = 108.

• Summa esimest elementi, kelle arv on võrdne z. See võimaldab arvutada summa kõigi elementide järjestuse _z arvatud.

≠ 0, seega q ei ole 1 - (q 1) Kuna (1- q) on nimetajas seejärel.

Märkus: kui q = 1, siis progresseerumist oleks esindatud mitmete lõputult Korrates number.

Summa eksponentsiaalselt näited: ₁ = 2, q = -2. Arvuta S _5.

Lahendus: S ₅ = 22 - arvutamise valem.

• Summa, kui | q | <1, ja kui z kipub lõpmatuseni.

Näide: ₁ = _2, q = 0,5. Leia summa.

Lahendus: S _z = 2 x = 4

Kui me arvutama mitmed liikmed kasutusjuhend, näed, et see on tõepoolest pühendunud neli.

S _z = 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0125 + 0,0625 = 3,9375 4

Mõned omadused:

• Iseloomulik omadus. Kui järgmine tingimus See kehtib mis tahes z, siis antud numbriline seeria - geomeetrilises progressioonis:

_z ² = _{Az -1} · _{Az + 1}

• Samuti on ruudu tahes arv on hüppeliselt abil Lisaks ruutude teised kaks numbrid tahes rea, kui nad on võrdsel kaugusel element.

² _z = _{z - t} ² _{+ z} + _^t2 kus t - vahemaa need numbrid.

• Elemendid erineda q korda.
• Logaritmid elemendid progresseerumise samuti moodustada progresseerumist, kuid aritmeetiline, see tähendab, igaüks neist rohkem kui eelmine teatav arv.

Mõned näited klassikalise probleeme

Et paremini mõista, mida geomeetrilises progressioonis, otsusega näiteid hinne 9 aitab.

• Tingimused: ₁ = 3, ₃ = 48. Leia q.

Lahendus: iga järgnev element rohkem kui eelmise q aega. See on vajalik, et väljendada mõningaid elemente teiste kaudu nimetaja.

Järelikult ₃ = q ² · ₁

Kui asendades q = 4

• Tingimused: ₂ = 6, a = ₃ 12. Arvuta S _6.

Lahendus: Selleks piisab, kui tõdeda q esimene element ja asenda valemisse.

₃ = q · _{2 järelikult} q = 2

₂ = q · _A1, nii a = ₁ 3

S = ₆ 189

• · _A1 = 10, q = -2. Leia neljanda osa progresseerumist.

Lahendus: see on piisavalt väljendada neljanda osa läbi esimese ja läbi nimetaja.

₄ a ³ = q · a = ₁ -80

Application näiteks:

• Bank klient on aidanud summa 10000 rubla, mille alusel igal aastal kliendi põhisumma lisatakse 6% küll. Kui palju raha on kontol pärast 4 aastat?

Lahendus: Esialgne summa, mis võrdub 10 tuhat rubla. Niisiis, aasta pärast investeeringute kontol on summa võrdne 10000 + 10000 = 10000 · 0,06 · 1,06

Seega summa kontol isegi pärast ühe aasta saab väljendada järgmiselt:

(10000 · 1,06) · 10000 · 0,06 + 1,06 = 1,06 · 1,06 · 10000

See tähendab, et igal aastal summa kasvas 1,06 korda. Seega, et leida number kontole pärast 4 aastat, piisab leida neljas element progresseerumist, mis on antud esimene element võrdne 10 tuhat, ja nimetaja võrdub 1,06.

S = 1,06 · 1,06 · 1,06 · 1,06 · 10000 = 12625

Näiteid probleeme arvutamisel summa:

Mitmesugustes probleeme lehe geomeetrilises progressioonis. Näiteks leida summa võib määrata järgmiselt:

₁ = 4, q = 2, siis arvutatakse S _5.

Lahendus: kõik vajalikud andmed arvutamiseks on teada, lihtsalt asendada need valemiga.

S ₅ = 124

• ₂ = 6, a = ₃ 18. arvutama esimese kuue elemente.

lahendus:

Geom. edusamme iga element järgmine suurem kui eelmise q korda, see tähendab, et arvutada, mida pead teadma element ₁ ja nimetaja q.

₂ · q = ₃

q = 3

Samamoodi on vaja leida _{1, 2} ja teades q.

₁ · q = _a2

₁ = 2

Ja siis piisab asendada tuntud andmed valemiga summa.

S ₆ = 728.